在 Gayle Laakman 的书“Cracking the Coding Interview”,第 VI 章(Big O),示例 12 中,问题指出给定以下用于计算字符串排列的 Java 代码,需要计算代码的复杂性

public static void permutation(String str) { 
    permutation(str, ""); 
} 
 
public static void permutation(String str, String prefix) { 
    if (str.length() == 0) { 
        System.out.println(prefix); 
    } else { 
        for (int i = 0; i < str.length(); i++) { 
            String rem = str.substring(0, i) + str.substring(i + 1); 
            permutation(rem, prefix + str.charAt(i)); 
        } 
    } 
} 

这本书假设因为会有 n!排列,如果我们将每个排列视为调用树中的叶子,其中每个叶子都附加到长度为 n 的路径,那么将不再有 n*n!树中的节点(即:调用次数不超过 n*n!)。

但是节点数不应该是:

foo+bar

因为调用数等于节点数(看视频中的图Permutations Of String | Code Tutorial by Quinston Pimenta)。

如果我们按照这种方法,节点数将为 1(对于树的第一层/根)+ 3(对于第二层)+ 3*2(对于第三层)+ 3*2* 1(第四层/底层)

即:节点数 = 3!/3! + 3!/2! + 3!/1! + 3!/0! = 16

但是,按照前面提到的方法,节点数会是3*3! = 18

难道我们不应该将树中的共享节点算作一个节点吗,因为它们表示一个函数调用?

请您参考如下方法:

关于节点的数量,你是对的。那个公式给出了准确的数字,但是书上的方法算了好几遍。

对于较大的 n,您的总和似乎也接近 e * n!,因此可以简化为 O(n!)

调用次数不超过 n * n! 在技术上仍然是正确的,因为这是一个有效的上限。根据其使用方式,这可能很好,并且可能更容易证明。

对于时间复杂度,我们需要乘以每个节点完成的平均工作。

首先,检查字符串连接。每次迭代都会创建 2 个新字符串以传递给下一个节点。一个String的长度增加1,另一个的长度减少1,但总长度总是n,给出a每次迭代的时间复杂度为 O(n)

迭代次数因级别而异,因此我们不能只乘以 n。而是查看整棵树的迭代总数,并获得每个节点的平均值。 n = 3:

  • 第一层的1节点迭代3次:1 * 3 = 3
  • 第二层的3节点迭代2次:3 * 2 = 6
  • 第三层的6个节点迭代1次:6 * 1 = 6

总迭代次数为:3 + 6 + 6 = 15。这与树中的节点数大致相同。所以每个节点的平均迭代次数是常数。

总的来说,我们有 O(n!) 次迭代,每次执行 O(n) 工作,总时间复杂度为 O(n * n !)


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