弗洛伊德基本思想

弗洛伊德算法作为求最短路径的经典算法,其算法实现相比迪杰斯特拉等算法是非常优雅的,可读性和理解都非常好。

基本思想:
弗洛伊德算法定义了两个二维矩阵:

  1. 矩阵D记录顶点间的最小路径
    例如D[0][3]= 10,说明顶点0 到 3 的最短路径为10;
  2. 矩阵P记录顶点间最小路径中的中转点
    例如P[0][3]= 1 说明,0 到 3的最短路径轨迹为:0 -> 1 -> 3。

它通过3重循环,k为中转点,v为起点,w为终点,循环比较D[v][w] 和 D[v][k] + D[k][w] 最小值,如果D[v][k] + D[k][w] 为更小值,则把D[v][k] + D[k][w] 覆盖保存在D[v][w]中。

概念是比较难理解的,我们来看图:

这里写图片描述

顶点名称和下标的对应
A B C D E F G
0 1 2 3 4 5 6

第2步:
以A为中间点,原D矩阵中,D[B][G]的值为INF,即不存在B->G的最小路径,但是通过A为中间点,D[B][A] + D[A][G] = 12 + 14 = 26 小于 D[B][G] = INF, 所以D[B][A] + D[A][G] 为 B -> G的最小值,因此覆盖D[B][G] 为 26。

第3步:
以B为中间点,第2步后的D矩阵中,D[A][C]的值为INF, 但是通过B,D[A][B] + D[B][C] = 12 + 10 = 22 小于 D[A][C] = INF,所以D[A][B] + D[B][C] 为 A->C的最小路径,覆盖D[A][C]的值为22, 以此类推。

第4步….

代码实现

我们就对上面的图进行弗洛伊德算法求最短路径,并且我们求A到D的最小路径,即v = 0, w = 3;

结构定义

typedef struct struct_graph{ 
    char vexs[MAXN]; 
    int vexnum;//顶点数  
    int edgnum;//边数  
    int matirx[MAXN][MAXN];//邻接矩阵  
} Graph;

弗洛伊德算法

//这里是弗洛伊德算法的核心部分  
    //k为中间点  
    for(k = 0; k < G.vexnum; k++){ 
        //v为起点  
        for(v = 0 ; v < G.vexnum; v++){ 
            //w为终点  
            for(w =0; w < G.vexnum; w++){ 
                if(D[v][w] > (D[v][k] + D[k][w])){ 
                    D[v][w] = D[v][k] + D[k][w];//更新最小路径  
                    P[v][w] = P[v][k];//更新最小路径中间顶点  
                } 
            } 
        } 
    }

求A 到 D的最短路径

    v = 0; 
    w = 3; 
    //03的最小路径 
    printf("\n%d -> %d 的最小路径为:%d\n", v, w, D[v][w]); 
    k = P[v][w]; 
    printf("path: %d", v);//打印起点 
    while(k != w){ 
        printf("-> %d", k);//打印中间点 
        k = P[k][w];  
    } 
    printf("-> %d\n", w);

完整代码

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
 
#define MAXN 10  
#define INF = 1000 
 
typedef struct struct_graph{ 
    char vexs[MAXN]; 
    int vexnum;//顶点数  
    int edgnum;//边数  
    int matirx[MAXN][MAXN];//邻接矩阵  
} Graph; 
 
int pathmatirx[MAXN][MAXN];//记录对应点的最小路径的前驱点,例如p(1,3) = 2 说明顶点1到顶点3的最小路径要经过2  
int shortPath[MAXN][MAXN];//记录顶点间的最小路径值 
 
void short_path_floyd(Graph G, int P[MAXN][MAXN], int D[MAXN][MAXN]){ 
    int v, w, k; 
    //初始化floyd算法的两个矩阵  
    for(v = 0; v < G.vexnum; v++){ 
        for(w = 0; w < G.vexnum; w++){ 
            D[v][w] = G.matirx[v][w]; 
            P[v][w] = w; 
        } 
    } 
 
    //这里是弗洛伊德算法的核心部分  
    //k为中间点  
    for(k = 0; k < G.vexnum; k++){ 
        //v为起点  
        for(v = 0 ; v < G.vexnum; v++){ 
            //w为终点  
            for(w =0; w < G.vexnum; w++){ 
                if(D[v][w] > (D[v][k] + D[k][w])){ 
                    D[v][w] = D[v][k] + D[k][w];//更新最小路径  
                    P[v][w] = P[v][k];//更新最小路径中间顶点  
                } 
            } 
        } 
    } 
 
    printf("\n初始化的D矩阵\n"); 
    for(v = 0; v < G.vexnum; v++){ 
        for(w = 0; w < G.vexnum; w++){ 
            printf("%d ", D[v][w]); 
        } 
        printf("\n"); 
    } 
 
    printf("\n初始化的P矩阵\n"); 
    for(v = 0; v < G.vexnum; v++){ 
        for(w = 0; w < G.vexnum; w++){ 
            printf("%d", P[v][w]); 
        } 
        printf("\n"); 
    } 
 
    v = 0; 
    w = 3; 
    //求 0 到 3的最小路径 
    printf("\n%d -> %d 的最小路径为:%d\n", v, w, D[v][w]); 
    k = P[v][w]; 
    printf("path: %d", v);//打印起点 
    while(k != w){ 
        printf("-> %d", k);//打印中间点 
        k = P[k][w];  
    } 
    printf("-> %d\n", w); 
} 
 
int main(){ 
    int v, w; 
    Graph G; 
    printf("请输入顶点数:\n"); 
    scanf("%d", &G.vexnum); 
    printf("请输入初始矩阵值:\n"); 
    for(v = 0; v < G.vexnum; v++){ 
        for(w = 0; w < G.vexnum; w++){ 
            scanf("%d", &G.matirx[v][w]); 
        } 
    } 
    printf("\n输入的矩阵值:\n"); 
    for(v = 0; v < G.vexnum; v++){ 
        for(w = 0; w < G.vexnum; w++){ 
            printf("%d ", G.matirx[v][w]); 
        } 
        printf("\n"); 
    } 
    short_path_floyd(G, pathmatirx, shortPath); 
}

操作结果

初始化操作

这里写图片描述

弗洛伊德算法后的D矩阵和P矩阵

这里写图片描述

求得的最短路径

这里写图片描述

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